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수학의 세계

수학의 다양한 종류와 활용 방안을 알아봅니다.

오랜만에 블로그에 포스팅을 하게 되었습니다.

취업 준비를 하면서 프로그래밍 지식 뿐만 아니라 타 분야에 관심을 가질 필요성을 느꼈습니다.

링크로 배운 다양한 지식들을 ‘knowledge’ 에 올리겠습니다.

이번 문서에서는 (휴식 시간을 가질 겸) 블로그 운영자가 이전에 좋아했던 과목인 수학을 고찰하는 시간을 가지겠습니다.

참고 동영상

수학의 기원과 분류

르네상스 이전까지 간단한 수학의 역사는 다음과 같습니다.

여기에 기재된 수학의 이론들은 더욱 발전하여, 순수 수학 을 만들게 되었습니다.

수학 뿐만 아니라 다양한 학문들이 등장하게 됩니다.

(예를 들어 물리학, 화학, 생물학, 지질학, 사회과학, 경제학, 컴퓨터 과학 등)

여기서 수치를 통해 다루는 이론들이 있어, 이들을 응용 수학 으로 발전 시킵니다.

순수 수학

순수 수학은 수학에 대한 호기심과 미적인 면에서 시작하게 되는 경우가 많습니다.

여기서 새로운 수학 분야들이 나오게 되면서, 더욱 체계화 시키는 것이 이 학문의 목적입니다.

그렇지만 이들은 쓸모가 없어지는 단점이 생깁니다.

이후 한 세기 이후 물리학, 컴퓨터 과학 등 이론의 어려움을 겪는 학자들은 실생활의 문제를 해결하기 위해 순수 수학을 응용해야 함을 깨닫게 됩니다.

이 뿐만 아니라 추상적인 이론들이 생기는 학문에도 필요성이 생기게 됩니다.

그래서 이론에 필요한 것들을 적용하기 위한 수학 개념을 정착 시키는 것이 순수 수학의 매력입니다.

순수 수학을 다루는 학문을 나누는 요소는 숫자, 구조, 공간, 변화 로 나뉩니다.

숫자(Number System)

숫자의 연구는 자연수들의 산술 연산 (사칙 연산, 가감승제 등) 을 통해 만들어집니다.

이 안에는 크게 정수(Integer Number), 유리수(Rational Number), 실수(Real Number), 복소수(Complex Number) 등이 있습니다.

정수 는 3 가지로 나뉘는데, 자연수, 0, 음수 로 구성되어 있습니다.

자연수 안에서 공약수가 1 과 자기 자신인 경우인 숫자인 소수(Prime Numbers) 가 있습니다.

이는 에라토스테네스의 체를 사용하여 구할 수 있습니다.

유리수 는 끊어지는 소수점으로 표현 가능한 수들입니다. 이는 당연히 분수로 표현 가능합니다.

실수 는 제곱근, 파이, 자연 로그 상수(e) 등 소수점이 끊어지지 않는 수들입니다.

숫자의 특성 상 헤아릴 수 없는 값이 양수와 음수로 벌어집니다. 이를 무한대 라 합니다.

복소수 는 sqrt(-1) (i) 과 실수로 표현한 수들입니다.

구조(Structure)

구조(Structure) 는 숫자를 가지고 변수의 형태로 바꾸는 방정식(Equation) 이 시점입니다.

대수학(Algebra) 은 방정식의 법칙을 주로 다룹니다.

이 안에서 다차원의 수를 다루는 벡터(Vector), 행렬(Matrices) 들을 다룹니다.

그리고 이들의 관계를 구하는 선형 대수학(Linear Algebra) 를 다룹니다.

정수론(Number Theory) 은 소수(Prime Number) 와 같은 숫자에 대한 특성을 발견하기 위한 학문입니다.

조합론(Combinatorics) 은 트리(Tree), 그래프(Graph) 등 특정 구조체 및 이산적인 것(Partition) 들의 특성을 발견하는 학문입니다.

군론(Group Theory) 은 군(Group) 에서 대상들이 어떤 연관을 이루고, 특성을 유추하는 학문입니다.

예를 들어 루빅스 큐브(문방구에서 3x3x3 정사각형으로 생긴 장난감.) 의 원리도 이를 적용했습니다.

루빅스 큐브의 군은 순열군(Permutation Group) 에 해당 됩니다.

순서론(Order Theory) 은 대상들을 특정 규칙에 맞게 배열하는 방법을 연구하는 학문입니다.

자연수(Natural Number) 도 순서를 결정하여 나열된 집합으로 볼 수 있습니다.

무엇이든 쌍방향으로 연관되어 있으면, 어떻게든 나열될 수 있음을 밝히는 것이 목적입니다.

공간(Space)

공간(Space) 은 모양들이 한 공간 안에서 어떻게 움직이는가를 발견하는 것입니다.

공간 안에는 삼각형, 사각형, 육각형, 원 등 다양한 도형들이 그려질 수 있습니다.

삼각론(Trigonometry) 은 삼각함수(sin, cos, tan) 들의 규칙을 다룹니다.

직각 삼각형의 각 변이 자연수인 경우를 구하는 피타고라스 정리 도 이에 해당됩니다.

프렉탈 기하학(Fractal Geometry) 은 척도 불변성이란 특성을 가진 수학적 패턴으로 확대를 진행해도 무한히 반복되는 것을 발견하는 이론입니다.

위상 수학(Topology) 은 공간에 해당되지 않는 움직임을 발견하는 학문입니다.

공간을 연속적으로 변경할 수 있지만, 이를 찢거나 붙어선 안 됩니다.

예를 들어 뫼비우스의 띠를 생각할 수 있는데, 하나의 면과 하나의 모서리를 지날 수 있습니다.

또한 커피 잔과 도넛은 엄연히 다른 모양이지만, 위상 수학적으로 생각하면 같은 모양이 나옵니다.

측도론(Measure Theory) 은 어떤 값들을 수와 공간으로 서로 묶어, 이들을 공간이나 집합에 할당하는 것입니다.

미분 기하학(Differential Geometry) 은 곡면 상 도형에 대해 다룹니다.

변화(Changes)

변화는 한 값이 시간을 통해 변한 값을 측정하는데 있어 나오는 값입니다.

이를 대표적으로 다루는 것이 미분(Differential) 과 적분(Integral) 입니다.

(미분을 잘 하지만, 적분을 못 한다는 것이 말이 안 되는 이야기를 들었을 것입니다.)

이를 통틀어 미적분학 이라고 하고, 함수에 의해 펼쳐진 영역이나 기울기의 특성을 다루는 것입니다.

더 나아가 벡터 미적분학 은 미적분학을 벡터의 관점에서 다루는 것입니다.

동역학계(Dynamical Systems) 도 이에 속할 순 있는데, 어떤 요소에 따라 상태가 변하는 것을 다루는 것입니다.

예를 들어 생태계와 유체(Fruid Flow) 등이 있습니다.

카오스 이론(Chaos Theory) 은 초기 상태에 따라 민감하게 반응하는 동역학계를 연구하는 것입니다.

복소해석학(Complex Analysis) 은 복소수를 포함한 함수의 특성을 다루는 것입니다.

응용 수학

응용 수학은 순수 수학에서 표현한 것보다 밀접히 연관되어 있습니다.

순수 수학의 발전에 따라 이론에 적용할 수 있는 분야가 넓어집니다.

물리학(Physics)

물리학은 물체에 대한 반응을 연구하기 때문에 순수 수학을 전부 사용합니다.

물리학의 이론과 순수 수학과의 관계는 매우 깊습니다.

예를 들어 원자, 역학, 유체 역학, 전기 등 숫자를 안 사용하는 이론이 없습니다.

화학(Chemistry)

분자 모델링에 대해 순수 수학의 요소 중 구조를 사용합니다.

생물학(Biology)

진화 생물학 및 유전에 대해 순수 수학의 요소 중 변화를 사용합니다.

공학(Engineer)

이집트, 바빌로니아 시대에 지어진 건축물엔 많은 수학적 지식들이 사용됩니다.

또한 비행기나 우주선 처럼 복잡한 전기시스템에도 동역학적 분야가 이용됩니다.

이들을 상세히 다루는 이론을 제어 이론이라고 합니다.

수치 해석학(Numerical Analysis)

수치 해석학(Numerical Analysis)은 수학적 도구의 일종으로 분석할 수치들이 복잡할 때 주로 사용됩니다.

여러 수치들을 측정하여 실수의 근사값을 얻기 위해 사용되기도 합니다.

예를 들어 정사각형 안에 점을 여러 개 찍어 원에 들어간 점의 수를 세어 원주율(파이) 의 값을 얻을 수 있습니다.

게임 이론(Game Theory)

게임 이론은 특정 규칙과 합리적인 행위자가 주어질 때 최고의 선택지를 고민하는 분야입니다.

이는 돈에 민감한 경제학, 생물학, 심리학에서 주로 사용됩니다.

확률론(Probability)

확률론(Probability) 은 무작위적 사건들을 연구하는 것입니다.

예를 들어 윷놀이, 주사위, 동전, 고스톱 등 상황에 맞는 사건의 횟수를 구하는 것입니다.

통계학(Statistics)

통계학(Statistics) 은 대량의 프로세스나 집단, 데이터를 분석하는 것입니다.

최적화(Optimization)

최적화(Optimization) 는 계산을 통해 최고의 선택을 찾는 과정입니다.

서로 다른 조건과 제약들이 주어질 때, 시각화된 함수에서 최적의 값을 찾는 것입니다.

이는 인류에게 있어 습관화 되어 있습니다.

컴퓨터 과학(Computer Science)

컴퓨터 과학(Computer Science) 은 물리학 처럼 수학과 매우 밀접한 관계가 있습니다.

컴퓨터는 순수 수학에서 다룬 이론들을 전부 다룰 수 있습니다.

이들을 확장 시켜 지능적인 컴퓨터를 창조하는 머신 러닝에서 수 많은 수학들이 사용됩니다.

머신 러닝을 공부하기 위해 선형대수학, 최적화, 동역학, 확률론 등을 공부해야 수월합니다.

암호학(Cryptography)

암호학(Cryptography) 은 컴퓨터 계산에서 매우 중요합니다.

조합론과 정수론 등 숫자 체계의 특성을 주로 사용합니다.

기초론(Foundations)

기초론(Foundations) 은 수학 그 자체에 대한 것을 다룹니다.

수학에서 존재하는 모든 법칙들의 기반이 무엇인지 유추합니다.

그리고 수학의 근원이 되는 기초적 법칙들의 완전한 모임인 공리계의 존재 여부를 따집니다.

또한 다양한 증명 방법(귀납법, 귀류법, 반례 등) 을 구성하는 것도 이에 해당됩니다.

이를 다루는 학문 중 수리 논리학, 집합론, 범주론 등으로 논리를 구상할 수 있습니다.

이 학문의 유명한 성과는 ‘괴델의 불완정성 정리’ 가 있습니다.

‘수학은 완전하고, 영원한 공리계를 가지고 있지 않는 것’ 과 ‘수학이 인공적인 것’ 을 증명했습니다.

계산 이론(Computation)

계산 이론은 서로 다른 계산 모델들을 다루며, 효율적으로 문제를 해결하는지 살피는 것입니다.

계산 이론 안에 복잡성 이론도 포함되는데 예를 들어 P-NP 문제가 있습니다.

복잡성 이론은 계산 가능성과 불가능성을 판단하고, 문제 해결을 위해 필요한 메모리와 시간을 추측하는 것입니다.

이는 수학적으로 아직까지 해결 못 한 미스터리 문제 7가지 중 하나에 속합니다.